0.   引　言

随着信息技术和人工智能技术的不断发展，智能船舶已成为航运业的重要发展方向，其中自主航行是其关键基础功能。在智能船舶自主航行技术的研发过程中，船舶操纵运动模型对于智能决策与自主控制的研发至关重要^[1]。操纵运动模型不仅为智能算法的研发提供了运动学约束和运动响应预报，也支持了基于模型方法的研发。因此，构建准确的操纵运动模型在提升船舶智能化与自主化方面具有重要意义。

近年来，针对实船的操纵运动建模问题，基于实船航行数据驱动建模的方法受到了广泛关注。这种方法通过船载传感器采集运动状态数据和控制输入信息，并根据这些数据建立能够表征船舶动力学特性的数学模型。除了传统的最小二乘^[2]和卡尔曼滤波^[3]等系统辨识方法，随着机器学习的发展，越来越多的具有强非线性映射能力的学习算法被应用于此类问题的研究中。例如，深度学习^[4-5]，高斯过程^[6-7]和支持向量机^[8-9]等数据驱动算法已广泛用于船舶操纵运动的离线建模研究。

但是，现有研究多关注于利用机器学习算法开展离线的监督学习，而在实际应用中，船舶的动态特性受到载重、水深、风浪流等诸多因素的影响，并非一成不变，这就有可能导致离线学习的模型出现失效的问题。

针对动态特性可能发生变化的时变系统，在线学习方法能够通过不断接收的数据对模型进行更新或修正，从而提升模型的适应性和准确性。常用的在线建模方法包括滑动窗口方法和增量学习方法。在船舶运动模型的在线建模研究中，常用到滑动窗口技术，例如，Yin等^[10]提出了一种可变结构的径向基函数神经网络，通过滑动窗口顺序学习，以优化横摇运动模型的结构和参数。Ouyang等^[11]提出一种基于滑动窗口的高斯过程回归在线建模方法，实现了模型的实时更新。对于增量学习方法，Yue等^[12]和Wang等^[13]分别提出了基于截断积分滤波和非线性高斯滤波的在线建模方法，实现了对模型参数的实时更新，以适应数据变化。此外，Xu等^[14]基于增量最小二乘支持向量机，对操纵运动模型进行了实时参数辨识，并与离线方法进行了对比分析。上述研究为在线更新和修正模型提供了有效的技术途径，但主要关注点在于在线建模功能实现，对于动态特性变化下在线算法的具体应用及其表现仍有待进一步研究和测试。

在实际航行中，船舶的动力学特性会受到载重^[15-16]、航行状态^[17-18]、环境工况等因素的影响。这些因素造成的动态特性的突变可能会影响在线建模的效果。此外，若采取随着新数据的获取一直更新模型的策略，可能会造成计算资源的浪费，故模型更新的时机选取也尤为关键。

为解决上述问题，本文拟提出基于误差监测机制的船舶操纵运动自适应在线建模方法，此方法通过监测模型的预测误差来判断模型是否失准，并结合在线算法对模型进行自适应更新。以KCS集装箱船变航速的机动运动场景为例进行测试和验证，着重研究误差监测机制的有效性和动态特性变化下在线算法的表现，并分析该方法的在线建模能力。

1.   自适应在线建模方法概述

以建立船舶水平面三自由度运动模型为目标，本文提出一套基于误差监测机制的船舶操纵运动自适应在线建模方法。该方法的核心思路是通过误差监测机制来判断航行器的动态特性是否发生变化，并由在线数据驱动方法基于实航数据对模型进行更新或修正。在算法实现上，该方法主要分为动态特性变化监测模块和模型在线学习更新模块，对应于如何选择模型的更新时机和如何更新模型。在后文中，选取滑动窗口技术作为在线更新方法来进行算法介绍，需要说明的是，增量方法同样适用于本框架。

图1所示为本文所提方法的工作流程。具体步骤描述如下：

图  1  基于误差监测的自适应在线建模方法的工作流程

Figure  1.  Workflow of the adaptive online modeling for ship maneuvering motion based on error monitoring

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1） 数据采集：维持一个数据容量为W的滑动窗口，实时收集船舶的运动状态数据，滑动窗口内的数据将作为训练数据。

2） 模型初始化或更新：基于滑动窗口中的数据训练得到操纵运动模型。该步骤用于获取最初的模型，并在后续起到更新模型的作用。

3） 运动预测：采用当前模型对船舶进行操纵运动在线预测。

4） 数据更新：随着船舶航行，滑动窗口进行更新以包含最新的数据。

5） 误差计算：计算当前模型的预测偏差e^t。

6） 模型评估：采用误差监测机制比较三个自由度运动预报的偏差。比较预测偏差e^t和设定阈值K的大小。若e^t超过K，则表示当前模型不满足预测精度要求，需要更新模型，返回步骤2）；若e^t未超过K，则继续使用当前模型。

7） 预测输出：输出当前模型的预测值，并继续迭代计算获取操纵运动的迭代预报结果，返回步骤3）。

2.   船舶操纵运动系统辨识建模

2.1   误差监测机制

为了有效地利用艇载计算资源，提高模型更新效率，在线建模的一个关键步骤在于确定模型的更新时机。在船舶的动力学特性出现变化时，原有模型的预测偏差会随之增大，因此一个比较直接的方法是根据模型预测的误差变化确定模型的更新时机。

船舶水面三自由度操纵运动模型包括纵向u、横向v和转艏r运动。在三自由度运动预测中，各自由度的预测模型之间存在着耦合关系。本文采用同时监测多自由度预测误差的方式快速判断模型是否失准。鉴于三自由度下速度之间的数量级存在差异，使用绝对百分比误差作为三自由度运动预测误差评估指标。

以$e_u^t$，$e_v^t$和$e_r^t$分别表示3个自由度的绝对百分比误差，则操纵运动模型的绝对百分比误差${e^t} = \left\{ {e_u^t,e_v^t,e_r^t} \right\}$的计算公式如下：

式中，${P^t} = \left\{ {P_u^t,P_v^t,P_r^t} \right\}$和${D^t} = \left\{ {D_u^t,D_v^t,D_r^t} \right\}$分别表示时间为t时三自由度运动模型的预测值和真实值。因此，判断模型是否失准的条件为

式中，K为预设的误差阈值。若三自由度的预测误差值均超过K值，则可以判断当前模型出现失准，无法满足预测精度需求，此时需要对模型进行更新。采用基于领域经验知识设置阈值K来获得所需的预测精度。在3.3节中，将对阈值K的选取进行讨论与分析。

2.2   基于滑动窗口的支持向量机在线建模

在确定模型的更新时机后，需要对模型进行更新修正以维持预测精度。在以往研究中^[19]，采用滑动窗口策略的在线重训练方法展现出了更优异的适应性。鉴于此，当模型失准时采用滑动窗口通过在线重训练策略来更新模型。在本文算例中，选取支持向量机作为在线建模算法，实现在线的非参数化建模。值得注意的是，本文提出的方法不仅适用于支持向量机算法，也可以使用其他的机器学习方法实现建模。

设置一个训练集$T = \left\{ {\left( {{{\boldsymbol{x}}_i},{{\boldsymbol{y}}_i}} \right),i = 1,2,3, \dots ,l} \right\}$，其中，${{\boldsymbol{x}}_i} \in {{\bf{R}}^N}$是输入，${{\boldsymbol{y}}_i} \in {\bf{R}}$是输出，N为输入样本的维数。支持向量机回归函数表示为

式中：$\varPhi {\text{(}} \cdot {\text{)}}$表示将输入样本${\boldsymbol{x}}$映射到高维特征空间；w为权重向量；b为偏置项。

基于结构风险最小化原则，目标函数定义为

式中：C为惩罚因子；$\xi$和${\xi ^*}$为松弛因子；$\varepsilon$为不敏感因子，表示所允许的训练偏差。

通过引入Lagrange乘子$\alpha ,{\alpha ^*},\eta ,{\eta ^*} \geqslant 0$，求解以下凸函数的二次规划问题：

根据Karush−Kuhn−Tucker定理，求解条件为：

求得$\alpha$，${\alpha ^*}$和b后，回归估计函数可表示为

其中，核函数$K({{\boldsymbol{x}}_i},{{\boldsymbol{x}}_j}) = (\varPhi ({{\boldsymbol{x}}_i}) \cdot \varPhi ({{\boldsymbol{x}}_j}))$。滑动窗口法即采用滑动窗口中的数据对支持向量机模型进行重训练，以获得模型的更新。

根据整体型建模思想，船舶的三自由度操纵运动数学模型将船舶水动力和力矩作为运动参数和控制参数的函数${f_1}( \cdot )$，${f_2}( \cdot )$和${f_3}( \cdot )$，表示为

式中：m为船舶的质量；I_z为船舶的转动惯量；${x_{\mathrm{G}}}$为船舶重心到中点的距离；u，v，r和$\delta$分别为纵向速度、横向速度、转艏角速度和舵角；$\dot u$，$\dot v$和$\dot r$为对应的加速度量；${X_{\dot u}}$，${Y_{\dot v}}$，${Y_{\dot r}}$，${N_{\dot v}}$和${N_{\dot r}}$为流体加速度导数。

根据式（3），得到船舶的三自由度非参数模型结构如下：

式中，模型的输入变量由u，v，r和$\delta$这4个变量构成，模型的输出由$\dot u$，$\dot v$和$\dot r$这3个加速度量构成。本文将使用支持向量机来辨识非线性函数${f_1}( \cdot )$， ${f_2}( \cdot )$和${f_3}( \cdot )$的映射关系，同时选用径向基（RBF）核函数：

式中，γ为核函数参数。根据非参数化模型的输出$\dot u$，$\dot v$和$\dot r$，下一时刻的状态变量可由下式得到：

式中，h表示时间步长。同时，下一时刻的变量$u(t + 1)$，$v(t + 1)$，$r(t + 1)$和$\delta (t + 1)$作为模型下一步的预测输入变量。

3.   仿真结果和分析

3.1   变航速操纵运动仿真

船舶在不同航速下的操纵运动特性具有明显差异。为了评估方法的有效性和适应性，本文以KCS集装箱船为研究对象，选取航速变化下的操纵运动作为动态特性变化场景，对该方法进行测试与验证。在航速变化的仿真场景中，将速度的变化作为未知信息引入，以测试误差监测机制的效用，以及该方法在动态特性时变场景下的响应速度和适应能力。KCS集装箱船主要参数如表1所示。

表  1  KCS的主要参数

Table  1.  Main parameters of KCS container ship

参数	数值
垂线间长/m	230.0
船宽/m	32.2
吃水/m	10.8
排水体积/m3	52 046

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变航速的运动仿真包括20°/20° Z形试验和30°回转试验。不同时段的航速设置如表2所示。从表中可看出，船舶的航速变化分别发生在第500 s和1 000 s这2个时刻，每种航速持续500 s，数据采样间隔为0.5 s。

表  2  不同时段的速度

Table  2.  Speeds for different periods of time

时段/s	航速/kn
0～500	15.5
500～1000	19.8
1000～1500	24.0

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3.2   算法参数设置与评估方法描述

在基于误差监测的船舶操纵运动自适应在线建模方法中，主要参数设置包括误差阈值K和滑动窗口的数据容量大小W。为了探究不同的K值对在线建模和预测结果的影响，仿真算例中设置了多个K值：0.03，0.06和0.09。滑动窗口的数据容量大小W基于经验设置为500个数据点，对应于250 s内采集的数据，以确保系统辨识所需的数据量。此外，支持向量机的超参数是通过采用网格搜索与交叉验证相结合的方法来确定的。

以固定航速为15.5 kn的KCS集装箱船运动数据集为训练集建立离线模型作为对比案例，即采用0～250 s时刻的数据作为训练数据，在后续建模过程中不再更新模型。模型预测的精确度评价指标为均方根误差（RMSE），计算式如下：

式中：${\hat y_i}$表示预测值；${y_i}$表示真实值；n为样本数量。

3.3   结果分析和讨论

船舶变航速下的20°/20° Z形运动预测结果如图2所示，预测范围为第250 s到第1500 s时刻，对应的样本数量为2500个数据点。其中，黑线代表真实数据，蓝线代表离线模型的预测结果，而红线展示了K值为0.03时在线重训练模型的预测结果。在此过程中，当误差监测算法监测到模型失准时，算法将重新选择预报起点，否则会持续进行迭代预报。如3.1小节表2所示，航速变化发生在第500 s和第1 000 s时刻。由图2可见，不同航速下船舶的Z形运动状态差异明显，这种差异在纵向速度上尤为突出。在线重训练模型的保真度更高，其能更准确地预测变航速下的Z形运动。此外，离线模型虽能够准确预测15.5 kn下的Z形运动（如第250 s到第500 s时刻），但在船舶航速变化后预报值明显偏移了期望值。这表明离线模型在变航速情况下的预测有局限性，仅适于固定航速下的预测，而在线重训练模型的适应能力表现出色，其维持了较高的预测精度，有效应对了模型在变航速下的精度下降情况。

图  2  变速Z形运动预测结果

Figure  2.  Predictions of variable-speed zigzag maneuvering

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船舶变航速下的20°/20°Z形运动预测结果的e_RMSE如表3所示。在线重训练模型在预测精度上的优势显而易见，在线重训练模型的预测精度高于离线模型。在变速Z形运动场景下，在线模型的纵向速度、横向速度和转艏角速度的e_RMSE分别降低了99.78%，96.18%和88.69%，表明在线模型能够更准确地捕捉到船舶在变速情况下的动态响应。

表  3  变速Z形运动预测的e_RMSE

Table  3.  The e_RMSE for the predictions of variable-speed zigzag maneuvering

预测项	离线模型	在线重训练模型：K = 0.03
纵向速度/（m·s−1）	6.055 6	0.0135
横向速度/（m·s−1）	0.8751	0.0334
转艏角速度/（（°）·s−1）	0.2379	0.0269

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在变航速的Z形运动场景中，不同K值下在线建模方法预测的三自由度的平均e_RMSE和模型更新次数如图3所示。从图可以看出，随着阈值K的减小，模型更新次数随之增加，代表预测精度的e_RMSE随之减小。该结果表明，在追求高预测精度的同时，需要权衡模型频繁重训练所带来的计算资源负担。

图  3  变航速Z形运动中不同K值下的e_RMSE和模型更新次数

Figure  3.  The e_RMSE and model update frequency for different K values in variable-speed zigzag maneuvering

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因此，在合理的数值范围内，阈值的选取可以被视为模型更新频率和模型精度之间的平衡，较小的阈值意味模型的高更新频率，但可能会增加模型在线更新的负担；较大的阈值可以节省在线建模的计算资源，但模型整体的精度可能会受到影响。

变航速下的30°回转运动的预测结果，如图4所示。预测范围和样本数量维持不变。在第500 s和第1000 s时，速度发生了变化，这一变化导致不同航速下的回转运动在多个自由度上均呈现出明显的差异。在航速变化的初始阶段，模型的预测结果存在不稳定，但其表现出对变化的快速适应能力，快速地对模型进行了更新，确保了模型的预测精度。

图  4  变速回转运动预测结果

Figure  4.  Predictions of variable-speed turning motion

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表4所示为变航速下的30°回转运动的预测RMSE结果。相较于离线方法，在线模型的纵向速度、横向速度和转艏角速度的e_RMSE分别降低了99.62%，95.84%和98.74%。本文所提出方法能够有效应对预测模型的失准问题，维持了较好的预测准确性。

表  4  变速回转运动预测的e_RMSE

Table  4.  The e_RMSE for the predictions of variable-speed turning motion

预测项	离线模型	在线重训练模型：K = 0.03
纵向速度/（m·s−1）	3.7476	0.0141
横向速度/（m·s−1）	0.5286	0.0220
转艏角速度/（（°）·s−1）	0.1742	0.0022

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图5所示为变航速回转运动中不同K值的e_RMSE与模型更新次数的关系。与变航速下的Z形运动相似，在设定K值时，必须谨慎权衡预测精确性与资源消耗之间的关系。较高的K值可以显著减少计算资源的消耗，但也会伴随着预测精度的降低。K值的选择对模型在线更新的性能影响显著。因此，需要在模型预测精度与计算资源之间进行权衡，找到合适的K值。

图  5  变航速回转运动中不同K值下的e_RMSE和模型更新次数

Figure  5.  The e_RMSE and model update frequency for different K values in speed-variable turning motion

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综上，基于误差监测机制的船舶操纵运动自适应在线建模方法明显展现出了其应对模型失准问题的能力。该方法能够实时更新模型以维持高预测精度，并在航速变化的环境下展示出色的自适应建模与预测性能，为船舶的自主航行提供更加可靠的决策支持。

4.   结　语

本文针对动态特性变化导致的船舶操纵运动模型失准的问题，提出了一种基于误差监测机制的船舶操纵运动自适应在线建模方法。此方法可以有效识别出模型更新的最佳时机，进而及时对模型进行更新，以维持预测精度。本研究以KCS集装箱船的航速变化运动仿真场景为案例，初步验证了所提方法的有效性。实验结果表明，该方法具备了出色的灵活性和适应性，能够随着时间和环境的变化不断调整和优化模型，满足在线预测的高精度要求。